Zahlensysteme Ausführliche Rechenbeispiele

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Diese Seite zeigt jeden Umrechnungsweg mit mehreren ausführlichen Beispielen – jeden Schritt einzeln erklärt, so dass man dem Rechenweg folgen kann ohne Vorkenntnisse.

Siehe auch: Binärsystem · Hexadezimalsystem und IP-Adressen · Zahlensystem-Umrechner · Zahlensysteme – Übungsaufgaben

Grundprinzip: Stellenwerte

In jedem Zahlensystem hat jede Stelle einen Stellenwert. Im Dezimalsystem kennt man das schon:

Tausender Hunderter Zehner Einer
Stellenwert 1000 100 10 1
Beispiel: 1347 1 3 4 7
Rechnung 1×1000 3×100 4×10 7×1

1000 + 300 + 40 + 7 = 1347 — das macht man automatisch, ohne nachzudenken.

Genau dasselbe Prinzip gilt für Binär (Basis 2) und Hex (Basis 16). Nur die Stellenwerte ändern sich.

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Dezimal → Binär

Methode: Subtraktionsmethode (empfohlen für Einsteiger)

Die 8 Stellenwerte von links nach rechts abarbeiten: 128 – 64 – 32 – 16 – 8 – 4 – 2 – 1

Für jede Stelle die Frage: Ist mein aktueller Restwert größer oder gleich diesem Stellenwert?

  • Ja → Bit = 1, Stellenwert vom Restwert abziehen
  • Nein → Bit = 0, Restwert bleibt gleich

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Beispiel 1: 42 → Binär

Schritt Stellenwert Restwert vorher Frage Bit Restwert nachher
1 128 42 42 ≥ 128? Nein 0 42
2 64 42 42 ≥ 64? Nein 0 42
3 32 42 42 ≥ 32? Ja 1 42 − 32 = 10
4 16 10 10 ≥ 16? Nein 0 10
5 8 10 10 ≥ 8? Ja 1 10 − 8 = 2
6 4 2 2 ≥ 4? Nein 0 2
7 2 2 2 ≥ 2? Ja 1 2 − 2 = 0
8 1 0 0 ≥ 1? Nein 0 0

Bits von oben nach unten ablesen: 00101010

Probe: 32 + 8 + 2 = 42 ✔

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Beispiel 2: 195 → Binär

Schritt Stellenwert Restwert vorher Frage Bit Restwert nachher
1 128 195 195 ≥ 128? Ja 1 195 − 128 = 67
2 64 67 67 ≥ 64? Ja 1 67 − 64 = 3
3 32 3 3 ≥ 32? Nein 0 3
4 16 3 3 ≥ 16? Nein 0 3
5 8 3 3 ≥ 8? Nein 0 3
6 4 3 3 ≥ 4? Nein 0 3
7 2 3 3 ≥ 2? Ja 1 3 − 2 = 1
8 1 1 1 ≥ 1? Ja 1 1 − 1 = 0

Ergebnis: 11000011

Probe: 128 + 64 + 2 + 1 = 195 ✔

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Beispiel 3: 172 → Binär (typische IP-Adresse)

172 ist der erste Teil von 172.16.x.x – einem privaten Netzbereich.

Schritt Stellenwert Restwert vorher Frage Bit Restwert nachher
1 128 172 172 ≥ 128? Ja 1 172 − 128 = 44
2 64 44 44 ≥ 64? Nein 0 44
3 32 44 44 ≥ 32? Ja 1 44 − 32 = 12
4 16 12 12 ≥ 16? Nein 0 12
5 8 12 12 ≥ 8? Ja 1 12 − 8 = 4
6 4 4 4 ≥ 4? Ja 1 4 − 4 = 0
7 2 0 0 ≥ 2? Nein 0 0
8 1 0 0 ≥ 1? Nein 0 0

Ergebnis: 10101100

Probe: 128 + 32 + 8 + 4 = 172 ✔

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Binär → Dezimal

Methode: Stellenwerte der aktiven Bits addieren

Jedes Bit mit dem Wert 1 trägt seinen Stellenwert zur Summe bei. Bits mit 0 werden ignoriert.

Stellenwerte zur Erinnerung:

Position (von links) 1 2 3 4 5 6 7 8
Stellenwert 128 64 32 16 8 4 2 1

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Beispiel 1: 01101101 → Dezimal

Position 1 2 3 4 5 6 7 8
Stellenwert 128 64 32 16 8 4 2 1
Bit 0 1 1 0 1 1 0 1
Beitrag – 64 32 – 8 4 – 1

64 + 32 + 8 + 4 + 1 = 109

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Beispiel 2: 11111100 → Dezimal (Subnetzmaske /30)

Position 1 2 3 4 5 6 7 8
Stellenwert 128 64 32 16 8 4 2 1
Bit 1 1 1 1 1 1 0 0
Beitrag 128 64 32 16 8 4 – –

128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 = 252

Das ist die Subnetzmaske für /30 – man erkennt das Muster: Subnetzmasken haben immer erst lauter Einsen, dann lauter Nullen.

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Beispiel 3: 10000000 → Dezimal (Subnetzmaske /25)

Position 1 2 3 4 5 6 7 8
Stellenwert 128 64 32 16 8 4 2 1
Bit 1 0 0 0 0 0 0 0
Beitrag 128 – – – – – – –

Nur das erste Bit ist an: 128

Das ist das letzte Oktett der Subnetzmaske 255.255.255.128 = /25.

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Dezimal → Hexadezimal

Methode: Division durch 16

  1. Den Wert durch 16 dividieren
  2. Den Rest notieren (das ist die rechte Hex-Stelle)
  3. Das Ergebnis wieder durch 16 dividieren
  4. Wiederholen bis das Ergebnis 0 ist
  5. Reste von unten nach oben lesen – Werte 10–15 als A–F schreiben

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Beispiel 1: 200 → Hex

Schritt Rechnung Ergebnis Rest Rest als Hex
1 200 ÷ 16 12 8 8
2 12 ÷ 16 0 12 C

Reste von unten nach oben: C8

Probe: C = 12, also 12 × 16 + 8 = 192 + 8 = 200 ✔

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Beispiel 2: 255 → Hex

Schritt Rechnung Ergebnis Rest Rest als Hex
1 255 ÷ 16 15 15 F
2 15 ÷ 16 0 15 F

Ergebnis: FF

255 = FF – das ist der maximal mögliche Wert eines Bytes, und der Wert für „alle Bits an" in einer Subnetzmaske.

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Beispiel 3: 192 → Hex

Schritt Rechnung Ergebnis Rest Rest als Hex
1 192 ÷ 16 12 0 0
2 12 ÷ 16 0 12 C

Ergebnis: C0

192 = C0 – das erste Oktett jeder 192.168.x.x-Adresse ist in Hex immer C0.

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Beispiel 4: 172 → Hex

Schritt Rechnung Ergebnis Rest Rest als Hex
1 172 ÷ 16 10 12 C
2 10 ÷ 16 0 10 A

Ergebnis: AC

Probe: A = 10, C = 12 → 10 × 16 + 12 = 160 + 12 = 172 ✔

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Hexadezimal → Dezimal

Methode: Stellenwerte multiplizieren und addieren

Hex-Stellenwerte (von rechts): 16⁰ = 1, 16¹ = 16, 16² = 256, …

Bei zweistelligen Hex-Werten (= ein Byte):

  • Linke Stelle × 16
  • Rechte Stelle × 1
  • Beide addieren

Buchstaben umrechnen: A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15

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Beispiel 1: B4 → Dezimal

Stelle Zeichen Wert (Dezimal) × Stellenwert Beitrag
Links B 11 × 16 176
Rechts 4 4 × 1 4

176 + 4 = 180

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Beispiel 2: FE → Dezimal

Stelle Zeichen Wert (Dezimal) × Stellenwert Beitrag
Links F 15 × 16 240
Rechts E 14 × 1 14

240 + 14 = 254

FE = 254 – das ist die Subnetzmaske /31 als letztes Oktett.

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Beispiel 3: A8 → Dezimal

Stelle Zeichen Wert (Dezimal) × Stellenwert Beitrag
Links A 10 × 16 160
Rechts 8 8 × 1 8

160 + 8 = 168

A8 = 168 – das zweite Oktett von 192.168.x.x in Hex.

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Binär → Hexadezimal

Methode: Nibble-Methode (schnellster Weg)

Ein Byte wird in zwei Nibbles (je 4 Bit) aufgeteilt. Jedes Nibble wird separat in eine Hex-Ziffer umgewandelt.

Nibble-Tabelle:

Binär Dezimal Hex
0000 0 0
0001 1 1
0010 2 2
0011 3 3
0100 4 4
0101 5 5
0110 6 6
0111 7 7
1000 8 8
1001 9 9
1010 10 A
1011 11 B
1100 12 C
1101 13 D
1110 14 E
1111 15 F

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Beispiel 1: 11000000 → Hex

Aufteilen: 1100 | 0000

Nibble Binär Dezimal Hex
Links 1100 12 C
Rechts 0000 0 0

Ergebnis: C0 (= 192 dezimal)

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Beispiel 2: 10101000 → Hex

Aufteilen: 1010 | 1000

Nibble Binär Dezimal Hex
Links 1010 10 A
Rechts 1000 8 8

Ergebnis: A8 (= 168 dezimal)

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Beispiel 3: 11111000 → Hex

Aufteilen: 1111 | 1000

Nibble Binär Dezimal Hex
Links 1111 15 F
Rechts 1000 8 8

Ergebnis: F8 (= 248 dezimal – Subnetzmaske /29)

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Hexadezimal → Binär

Methode: Jede Hex-Ziffer einzeln in 4 Bit umwandeln

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Beispiel 1: C0 → Binär

Hex-Ziffer Dezimalwert Binär (4 Bit)
C 12 1100
0 0 0000

Zusammensetzen: 11000000 (= 192)

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Beispiel 2: FF → Binär

Hex-Ziffer Dezimalwert Binär (4 Bit)
F 15 1111
F 15 1111

Zusammensetzen: 11111111 (= 255 – alle Bits an)

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Beispiel 3: 3D → Binär

Hex-Ziffer Dezimalwert Binär (4 Bit)
3 3 0011
D 13 1101

Zusammensetzen: 00111101

Probe (Dezimal): 32 + 16 + 8 + 4 + 1 = 61 · und 3×16 + 13 = 48 + 13 = 61 ✔

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Praxisbeispiel: Komplette IP-Adresse umrechnen

Beispiel: 192.168.10.1 → Binär und Hex

Jedes Oktett wird einzeln umgerechnet:

Oktett Dezimal Rechnung Binär Binär Rechnung Hex Hex
1 192 128+64 11000000 192÷16=12 R0 → C0 C0
2 168 128+32+8 10101000 168÷16=10 R8 → A8 A8
3 10 8+2 00001010 10÷16=0 R10 → 0A 0A
4 1 1 00000001 1÷16=0 R1 → 01 01

Ergebnisse:

  • Dezimal: 192.168.10.1
  • Binär: 11000000.10101000.00001010.00000001
  • Hex: C0.A8.0A.01

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Beispiel: Subnetzmaske /26 vollständig darstellen

/26 bedeutet: die ersten 26 Bits sind 1, der Rest ist 0.

26 Bits aufgeteilt auf 4 Oktette: 8 + 8 + 8 + 2 → letztes Oktett hat 2 Einsen, 6 Nullen.

Oktett Bits Binär Dezimal Hex
1 8× Eins 11111111 255 FF
2 8× Eins 11111111 255 FF
3 8× Eins 11111111 255 FF
4 2× Eins + 6× Null 11000000 192 C0

Subnetzmaske /26 = 255.255.255.192 = FF.FF.FF.C0

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